Halo teman-teman Studioliterasi! Kali ini kita kembali lagi dengan materi matematika nih. Materi kali ini cukup seru untuk dipelajari, yaitu Induksi Matematika. Teori ini sangat berperan penting dalam membuktikan sebuah pernyataan atau rumus matematika. Kira-kira seperti apa sih cara pembuktiannya? Yuk, kita simak bersama-sama pengertian serta prinsip Induksi Matematika yang telah kami rangkum dibawah ini.
Daftar Isi
Pengertian Induksi Matematika
Induksi Matematika merupakan salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah secara deduktif. Dimana merupakan suatu proses untuk menarik suatu kesimpulan berdasar pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga untuk pernyataan khusus atau tertentu juga dapat berlaku benar. Induksi matematika merupakan perluasan dari logika matematika. Yang dalam penerapannya, logika matematika juga digunakan untuk mempelajari pernyataan yang bernilai benar atau salah.
Prinsip Induksi Matematika
Misalkan P(n) adalah pernyataan yang memuat bilangan asli, maka P(n) dapat dibuktikan benar untuk semua bilangan asli n, dengan mengikuti langkah-langkah induksi matematika.
Berikut ini merupakan langkah-langkah dalam pembuktiannya.
Artikel Terkait
- Pakaian Putri Kerajaan Majapahit, Mewah!by Amanda R Putri (Museum Nusantara – Info Wisata Sejarah Indonesia) on April 16, 2024 at 1:24 am
Apapun yang terkait dengan fashion, terlebih kalau menyangkut kekeluargaan kerajaan pasti menarik untuk diketahui. Termasuk, pakaian kerajaan pada masa lalu yang tentu mengandung nilai bersejarah penting. Kali ini kami akan mengajak kalian membahas pakaian putri Kerajaan Majapahit yang merupakan salah satu kerajaan berjaya di Nusantara antara abad ke-13 dan ke-16. Penasaran dengan pakaian putri khas The post Pakaian Putri Kerajaan Majapahit, Mewah! appeared first on Museum Nusantara - Info Wisata Sejarah Indonesia.
- Kerap Tertukar, Inilah Perbedaan Nekara dan Moko!by Amanda R Putri (Museum Nusantara – Info Wisata Sejarah Indonesia) on April 6, 2024 at 1:59 pm
Nekara dan moko ialah contoh artefak perunggu yang terkenal dari zaman prasejarah di Indonesia, tepatnya pada zaman logam. Memang kalau sekilas kita lihat memiliki beberapa kesamaan. Bahkan pada beberapa sumber sering kali menyebutkan kalau moko merupakan nama lain dari nekara. Ternyata, keduanya tidak sama dan terdapat perbedaan. Artikel ini bakal mengulas perbedaan yang signifikan pada The post Kerap Tertukar, Inilah Perbedaan Nekara dan Moko! appeared first on Museum Nusantara - Info Wisata Sejarah Indonesia.
- Contoh Gotong Royong di Rumah, Mari Terapkan!by Amanda Rayta (Studio Literasi) on April 6, 2024 at 8:53 am
Rumah merupakan tempat pertama untuk memulai suatu pembelajaran. Termasuk dalam hal gotong royong Harapannya begitu terjun pada lingkungan masyarakat, kamu paling tidak sudah mengerti arti singkat mengenai hal tersebut. Memang kalau penerapannya contoh gotong royong di rumah seperti apa saja? Selengkapnya bisa kamu baca pada artikel yang dibuat khusus untuk Sobat Literasi. Check it out! Artikel Contoh Gotong Royong di Rumah, Mari Terapkan! pertama kali tampil pada Studio Literasi.
- Contoh Gotong Royong di Sekolah, Mudah Diterapkan!by Amanda Rayta (Studio Literasi) on April 4, 2024 at 10:28 pm
Sayang banyaknya nilai-nilai modern, membuat sejumlah nilai tradisional mulai tergeserkan. Salah satunya, gotong royong. Sekarang ini sudah mulai jarang kegiatan yang menggunakan unsur tersebut. Maka tidak heran, mungkin generasi ini tidak memahami dan ketahui Salah satu tempat mereka bisa belajar hal itu dengan diajarkan di sekolah. Melalui beberapa aktivitas yang sifatnya dikerjakan bersama-sama. Untuk contoh Artikel Contoh Gotong Royong di Sekolah, Mudah Diterapkan! pertama kali tampil pada Studio Literasi.
- Langkah awal : P(1) adalah pernyataan benar, berarti untuk n = 1, maka P(n) adalah bernilai benar.
- Langkah induksi : Apabila P(k) benar, maka P(k + 1) benar untuk setiap k adalah bilangan asli.
Apabila langkah (1) dan (2) benar, maka dapat disimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap n adalah bilangan asli.
Pembuktian Induksi Matematika pada Deret Bilangan
Pada deret bilangan, biasanya persoalan induksi matematika dalam bentuk penjumlahan yang beruntun. Sehingga, harus dibuktikan kebenarannya pada suku pertama, suku ke-k dan suku ke-(k + 1).
Contoh soal deret bilangan
- Buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n² bernilai benar untuk setiap n bilangan asli.
Pembahasan :
P(n) = 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n²
Langkah awal :
Misalkan n = 1, maka
P₁ : 1 = 1²
Jadi, P₁ benar.
Langkah induksi :
Misal P(k) = 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k²
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut bernilai benar, maka P(k+1) juga benar, yaitu
P(k+1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)²
Hasil asumsi :
1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k²
Tambahkan kedua ruas dengan U(k+1)
1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = k² + (2k+1)
1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = k² + 2k + 1
1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)²
Maka, P(k+1) benar.
Pembuktian Induksi Matematika pada Keterbagian
Jenis ini biasa kita temukan pada soal yang mengandung kalimat sebagai berikut :
- a habis dibagi b
- b membagi a
- b faktor dari a
- a kelipatan b
Ciri tersebut menunjukan bahwa pernyataan tersebut dapat diselesaikan menggunakan induksi matematika jenis pembagian.
Hal yang perlu diingat adalah, apabila a habis dibagi b maka a = b.m, dimana m merupakan bilangan bulat.
Contoh soal keterbagian
- Buktikan jika n³ + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli.
Pembahasan :
P(n) = n³ + 2n dapat habis dbagi 3
Langkah awal :
Misal n = 1, maka
P₁ : 1³ + 2.1 = 3
Jadi, P₁ benar.
Langkah induksi :
Misal P(k) = k³ + 2k habis dibagi 3
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar , maka P(k+1) juga benar, yaitu
(k + 1)³ + 2(k + 1) habis dibagi 3
Hasil asumsi :
Karena pada langkah sebelumnya sudah diketahui bahwa k³ + 2k habis dibagi 3 dan 3(k2 + k + 1) juga habis dibagi 3, maka (k3 + 2k) + 3(k2 + k + 1) pasti habis dibagi 3.
Jadi, benar.
Pembuktian Induksi Matematika pada Ketidaksamaan
Jenis ketidaksamaan ini ditandai dengan tanda lebih dari atau kurang dari dalam pernyataannya. Sifat-sifat yang sering digunakan untuk pernyataan jenis pertidaksamaan adalah sebagai berikut :
- a < b < c ⇒ a < c atau a > b > c ⇒ a > c
- a > b ⇒ a + c > b + c atau a < b ⇒ a + c < b + c
Contoh soal ketidaksamaan
- Buktikanlah untuk setiap bilangan asli n ≥ 2 berlaku 3n > 1 + 2n
Pembahasan :
P(n) = 3n > 1 + 2n
Langkah awal :
Misal n = 2, maka
P₁ : 32 = 9 > 1 + 2.2 = 5
Jadi, P₁ benar.
Langkah induksi :
Misal P(k) = 3k > 1 + 2k, k ≥ 2
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar, maka P(k + 1) juga benar, yaitu
3k+1 > 1 + 2(k + 1)
Jadi, n=(k + 1) benar.
Rumus Induksi Matematika
Dapat disimpulkan dari penjelasan sebelumnya bahwa langkah untuk pembuktian induksi matematika dapat dilakukan dengan cara seperti berikut :
- Langkah awal : Menunjukan bahwa P(1) adalah benar.
- Langkah induksi : Mengasumsikan bahwa P(k) adalah benar untuk k bilangan asli, lalu menunjukan P(k + 1) juga benar berdasarkan asumsi tersebut.
- Kesimpulan : P(n) adalah benar untuk masing-masing bilangan asli n.
Gimana sobat Studioliterasi? Sudah mulai paham kan? Semoga setelah membaca dan mempelajari materi ini kalian bisa lebih paham dan bisa mengerjakan soal tentang induksi matematika.
Baca Juga: Barisan dan Deret oleh Studio Literasi
Tidak ada komentar