Persamaan Kuadrat

Sobat Studioliterasi khususnya yang kelas 9 pasti sudah kenal dengan salah satu materi pelajaran matematika, yaitu persamaan kuadrat. Ya, kali ini Studioliterasi akan membahas seputar persamaan kuadrat. Kira-kira bagaimana sih cara mencari persamaan kuadrat itu?dan apa saja macam-macam akarnya?. Nah, untuk lebih paham tentang persamaan kuadrat, yuk kita simak penjelasan di bawah ini.

Pengertian Persamaan Kuadrat

Sebelum membahas tentang apa itu persamaan kuadrat, ada lebih baiknya kita mengerti dulu apa itu kuadrat.

Akar kuadrat dari sebuah bilangan n sama dengan bilangan m sedemikian sehingga m² = n atau dengan kata lain, bilangan m yang dikuadratkan (hasil kali dengan bilangan itu sendiri) sama dengan n.

Persamaan kuadrat sendiri merupakan suatu persamaan dari variabel yang memiliki orde (pangkat) dua. Bentuk umumnya seperti berikut :

y = ax² + bc + c

Dengan a, b sebagai koefisien, c sebagai konstanta, dan x sebagai variabel, serta a ≠ 0. Nilai koefisien a, b dan c sangat mempengaruhi bentuk parabola yang dihasilkan dalam koordinat xy.

1. Nilai koefisien a menentukan cekung atau cembungnya kurva parabola. Jika a > 0, maka parabola akan terbuka ke atas. Jika a < 0, maka parabola akan terbuka ke bawah.

2. Nilai koefisien b menentukan posisi puncak parabola atau sumbu simetri dari kurva yang didapat dari penghitungan x = -b/2a.

3. Nilai koefisien c menentukan titik potong fungsi parabola dengan sumbu y.

Macam-macam Akar Persamaan Kuadrat

Untuk menyelesaikan persoalan pada persamaan kuadrat, bisa dengan menggunakan akar-akar PK. Untuk menentukannya bisa menggunakan rumus umum D = b² – 4ac. Terdapat berbagai macam akar-akar PK, diantaranya yaitu sebagai berikut :

Akar Real

Jika suatu PK memiliki nilai D > 0, maka akan menghasilkan akar-akar persamaan yang real namun berlainan. Dengan kata lain x₁ ≠ x₂.

Contoh :

Tentukan jenis akar persamaan x² + 5x + 3 = 0

Penyelesaian :

a = 1  
b = 5
c = 3

D = b² – 4ac
D = 5² – 4.1.3
D = 25 – 12
D = 13

Jadi, karena D > 0, maka jenis akarnya adalah akar real.

Akar Real Sama atau Kembar

Jika nilai D = 0, maka akan menghasilkan akar-akar dengan nilai yang sama ( x₁ = x₂ ).

Contoh :

Tentukan nilai akar-akar PK dari 3x² + 6x + 3 = 0

Penyelesaian :

a = 3  
b = 6  
c = 3

D = b² – 4ac
D = 6² – 4.3.3
D = 36 – 36
D = 0

Jadi, karena D = 0, maka terbukti akar real dan sama/kembar.

Akar Imajiner/Tidak Real

Jika PK memiliki nilai D < 0, maka akan memiliki akar PK yang berbentuk imajiner/tidak real.

Contoh :

Tentukan jenis akar dari persamaan x² + 3x + 4 = 0

Penyelesaian :

a = 1  
b = 3 
c = 4

D = b² – 4ac
D = 3² – 4.1.4
D = 9 – 16
D = -7

Jadi, karena D < 0, maka jenis akarnya adalah akar tidak real.

Rumus Persamaan Kuadrat

Terdapat berbagai metode yang dapat digunakan untuk mencari hasil persamaan kuadrat. Seperti faktorisasi, kuadrat sempurna, dan rumus abc. Berikut ini merupakan penjelasan beberapa metode untuk mencari akar-akar persamaan.

Faktorisasi

Faktorisasi atau pemfaktoran adalah metode untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan mencari nilai yang jika dikalikan akan menghasilkan nilai lain. Terdapat tiga bentuk PK dengan faktorisasi yang berbeda, seperti berikut :

No	Bentuk persamaan	Faktorisasi Akar-akar
1	x2 + 2xy + y2 = 0	(x + y)2 = 0
2	x2 – 2xy + y2 = 0	(x – y)2 = 0
3	x2 – y2 = 0	(x + y)(x – y) = 0

Contoh soal :

Selesaikan persamaan x² – 7x + 12 = 0 menggunakan metode faktorisasi

Pembahasan :

Dari persamaan x² – 7x + 12 = 0

Diketahui :

B = -7 ; c = 12

Pasangan faktor dari 12 yang bila dijumlahkan menghasilkan angka 7 adalah 3 dan 4. Sehingga m = -3 dan n = -4.

x² – 7x + 12 = 0
(x + m)(x + n) = 0
(x – 3)(x – 4) = 0
x = 3 atau x = 4

Jadi, hasil dari penyelesaiannya adalah x = 3 atau x = 4.

Kuadrat Sempurna

Selain dengan cara faktorisasi, cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Bentuk kuadrat sempurna adalah bentuk persamaan yang menghasilkan bilangan rasional. Berikut merupakan rumus penyelesaiannya :

(x+p)² = x² + 2px + p²

Ubah dengan pemisalan (x+p)² = q

(x+p)² = q
x+p = ± q
x = -p ± q

Contoh soal :

Selesaikan persamaan x² + 6x – 7 = 0 menggunakan metode persamaan kuadrat sempurna!

Pembahasan :

x² + 6x – 7 = 0
x² + 6x = 7

Tambahkan satu angka pada ruas kiri agar menjadi kuadrat sempurna. Angka ini diambil dari separuh angka koefisien x yang dikuadratkan. Sehingga didapat angka 3² = 9.

x² + 6x + 9 = 7 + 9
(x + 3)² = 16
(x + 3) = √16
x = 3 ± 4

Jadi, hasilnya adalah x = 7 atau x = -1.

Rumus Kuadrat ABC

Metode ketiga yang dapat dilakukan apabila persamaan kuadrat sudah tidak bisa diselesaikan dengan cara faktorisasi dan kuadrat sempurna yaitu dengan cara rumus kuadrat abc. Berikut merupakan rumus kuadrat abc :

Contoh soal :

Selesaikan persamaan x² + 3x – 4 = 0 menggunakan metode formula abc!

Pembahasan :

x² + 3x – 4 = 0

a = 1 ; b = 3 ; c = -4

Persamaan Kuadrat baru

Pada bagian ini akan membahas tentang cara menyusun persamaan kuadrat dari akar-akar yang telah diketahui sebelumnya. Berikut merupakan cara yang digunakan untuk menyusun PK baru :

1. Jika telah diketahui akar-akarnya

Apabila sebuah persamaan memiliki akar x1 dan x2, maka persamaan dari akar tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk seperti berikut :

(x- x₁)(x- x₂)=0

Contoh :

Tentukan persamaan kuadrat dimana akar-akarnya yaitu 3 dan -2

Penyelesaian :

x₁ = 3 dan x₂= -2
(x – 3)(x – (-2))= 0
(x – 3)(x + 2) = 0
x²  + 2x – 3x – 8 = 0
x² – x – 8 = 0

Jadi, hasil persamaan dari akar-akar tersebut adalah X² – x – 8 = 0

2. Jika jumlah serta hasil kali akar diketahui 

Apabila akar-akar persamaannya dengan jumlah dan hasil kali, yaitu x1 dan x2 telah diketahui, maka persamaannya dapat diubah dalam bentuk sebagai berikut :

x² – ( x₁ + x₂)x + (x₁ . x₂) = 0

Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar PK sebagai berikut :

x₁ + x₂ = -b/a x₁ . x₂ = c/a

Contoh :

Tentukan PK baru yang akar-akarnya x₁ – 1 dan x₂ – 1 dari akar-akar persamaan kuadrat x² – 3x – 5 = 0

Penyelesaian :

x² – 3x – 5 = 0
x₁ + x₂ = -b/a = 3
x₁ . x₂ = c/a = -5

Misalkan akar-akar PK yang baru adalah 𝛼 dan 𝛽, dimana :

𝛼 = x₁ – 1 dan 𝛽 = x₂ – 1

Sehingga :

𝛼 + 𝛽 = x₁ – 1 + x₂ – 1
= x₁ + x₂ – 2
= 3 – 2
= 1

𝛼 . 𝛽 = (x₁ – 1)( x₂ – 1)
= x₁x₂ – x₂ – x₁ + 1
= x₁x₂ – (x₂ + x₁₎ + 1
= -5 – 3 + 1
= -7

PK yang baru menjadi :

x² – ( x₁ + x₂)x + (x₁ . x₂) = 0
x² – x – 7= 0

Nah, bagaimana teman-teman? Apakah kalian sudah paham mengenai materi ini? Kunjungi studioliterasi untuk informasi dan rangkuman lengkap lainnya seputar pelajaran sekolah kalian ya! Sampai jumpa.