Turunan Fungsi Aljabar

Materi Turunan Fungsi Aljabar merupakan materi matematika wajib di kelas 11. Konsep materi ini sering diterapkan dalam penyelesaian masalah dalam kehidupan sehari-hari, baik dalam ilmu matematika maupun ilmu-ilmu yang lain. Berikut penjelasan singkat mengenai materi turunan fungsi aljabar.

Pengertian Turunan Fungsi Aljabar

Turunan yang biasa disebut juga sebagai derivatif adalah pengukuran suatu fungsi yang berubah seiring dengan perubahan dari nilai input fungsi itu sendiri.

Lalu apa itu Turunan Fungsi? Merupakan fungsi lain (baru) yang berasal dari fungsi yang sebelumnya.

Untuk lebih memahami lebih jauh mengenai turunan fungsi aljabar, alangkah baiknya untuk memahami lagi mengenai rumus-rumus turunan fungsi dasar. Rumus dasar turunan akan sangat membantu kalian untuk memahami turunan fungsi aljabar karena rumus dasar inilah yang kemudian akan digunakan untuk menyelesaikan soal-soal dari turunan fungsi aljabar.

Rumus Turunan Fungsi Aljabar

1. Untuk fungsi f(x) diturunkan menjadi f’(x)=0
   Contoh: f(x) = 7 maka f’(x) = 0

2. Apabila fungsi f(x)= k.x (dengan catatan k adalah konstanta) maka diturunkan menjadi fungsi f’(x)= k
   (atau f(x) = x diturunkan menjadi f’(x) = 1)
   Contoh: f(x) = 3x maka turunannya adalah f’(x) = 3

3. Rumus turunan fungsi yang berbentuk pangkat pada fungsi f(x) = xⁿ, diturunkan menjadi f’(x) = n.x^n-1 
   Contoh: f(x) = 3² maka diturunkan menjadi f’(x) = 2.3^2-1 = 2.3 = 6

4. Untuk k = konstanta, dalam rumus fungsi f(x) = k.u(x), maka turunannya adalah f’(x) = k.u’(x) ( ingat bahwa f(x) = x turunannya menjadi f’(x)=1 )
   Contoh: f(x) = 4.2(x) maka turunannya yaitu f’(x) = 4.1 = 4

5. Rumus penjumlahan pada fungsi h(x) = f(x) + g(x), apabila diturunkan menjadi h’(x) = f’(x) + g’(x).

6. Rumus pengurangan pada fungsi h(x) = f(x) – g(x) , apabila diturunkan menjadi h’(x) = f’(x) – g’(x)

7. Rumus kelipatan atau perkalian konstanta pada fungsi (k.f)(x) diturunkan menjadi k . f’(x)

8. Rumus turunan hasil kali f(x) = u(x) . v(x) diturunkan menjadi
   f’(x) = u(x)’ . v(x) + u(x) . v’(x)

9. Pada fungsi pembagian f(x) =u(x)v(x), apabila diturunkan maka rumusnya menjadi
   f(x) = u’(x) . v(x) – u(x) . v’(x)
   v²(x)

10. Untuk rumus turunan pangkat fungsi f(x) = (u(x))ⁿ , maka turunannya adalah (ingat rumus dasar turunan bahwa f(x) = xⁿ) maka,
    f’(x) = n.u(n-1).u’

11. Aturan rantai berlaku pada rumus (f∘g)(x) sama dengan f’(g(x)) . g’(x))

Rumus Sifat Akar

Perlu dicatat bahwa untuk mencari turunan dari fungsi yang mana didalamnya terdapat bentuk akar atau pecahan, yang harus kita ingat dan lakukan terlebih dahulu yaitu merubah fungsi tersebut ke dalam bentuk pangkat (eksponen). Berikut ini merupakan beberapa sifat akar dan pangkat yang sering muncul dan dipakai dalam soal, diantaranya:

1. x^m . xⁿ = x^m+n
2. x^m/xⁿ = x^m-n
3. 1/xⁿ = 1.x^-n
4. √x = x^1/2
5. ⁿ√x^m = x^m/n

Contoh Soal Turunan Fungsi Aljabar

Perhatikan beberapa contoh berikut ini:

Tentukan turunan pertama dari:

1. f(x) = x²

Jawab: 

f(x) = xⁿ diturunkan menjadi  f’(x) = n.x^n-1 

Sehingga turunan dari f(x) = x² adalah f’(x) = 2.x^2-1 = 2x

2. y = 3x⁴

Jawab: 

f(x) = xⁿ diturunkan menjadi  f’(x) = n.x^n-1 

Sehingga turunan dari y = 3x⁴ adalah y’ = 3. 4x^4-1 = 12x³

3. y = 2x⁵ + x² − 2x

Jawab: 

f(x) = xⁿ diturunkan menjadi  f’(x) = n.x^n-1 

Sehingga turunan dari y = 2x⁵ + x² − 2x adalah

y = 2x⁵ + x² − 2x

y’ = 2 . 5x^5-1 + 2x^2-1 − 2x

y’ = 10x⁴ + 2x − 2

4. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 9/2x

Jawab:

f(x) = 1/xⁿ apabila dinyatakan dalam bentuk pangkat maka f(x) = 1.x^-n

Maka untuk mencari turunan dari f(x) = 9/2x ubah ke bentuk pangkat dulu

f(x) = 9/2x -> f(x) = 9.2x^-1

f(x) = 18x^-1

Sehingga, apabila diturunkan hasilnya

f’(x) = 18.(-1)x^(-1-1) = -18x^-2

5. f(x) = 4x − 3 / (x + 2)

Misalkan u = 4x−3 dan v = x+2 

Maka kita cari terlebih dahulu turunan dari u dan v

u = 4x − 3 -> u’ = 4−0 = 4

v = x + 2 -> v’ = 0+2 = 2

Jawab:

f(x) = u(x).v(x) diturunkan menjadi

f'(x) = (u’(x) . v(x) – u(x) . v’(x)) / v²(x)

Formula ini diterapkan dalam penyelesaian soal

f(x) = (4x−3) / (x + 2)

f’(x) = (4.(x+2) – (4x-3).2) / (x+2)²

f’(x) = (4x+8-8x+6) / (x+2)²

f’(x) = ((-4x)+14) / (x+2)²

6. Berapakah turunan dari fungsi f(x)=(2x³−5)⁴ 

Misalkan:

u = 2x³ − 5

u’ = (2.3x^3-1) − 0
u’ = 6x² 

n = 4

Jawab:

f(x) = uⁿ -> f’(x) = n.u^n-1.u’

maka,

f’(x) = 4.(2x³ − 5)^4-1.6x²  

f’(x) = 24x²(2x³ − 5)³

7. Apabila fungsi f(x) = 3x⁴(x² – 4)

Maka turunannya f’(x) adalah

Jawab:

u(x) = 3x⁴ sehingga u’(x) = 12x³ 

v(x) = (x² – 4) sehingga v’(x) = 2x

Sehingga f’(x) adalah

f(x) = 3x⁴(x² − 4)

f’(x) = u’(x) . v(x) – u(x) . v’(x) v²(x)

f’(x) = (12x³ . (x² – 4)) − (3x⁴ . 2x) (x² – 4)² 

f’(x) = (12x⁵ − 48x³ − 6x⁵) (x² – 4)²f’(x) =  (6x⁵ − 48x³) (x² – 4)²

Penerapan Turunan Fungsi Aljabar dalam Bidang Ilmu

• Dalam ilmu matematika, penerapan turunan sering digunakan untuk menentukan garis singgung pada suatu kurva, menentukan rumus kecepatan dan percepatan, juga menyelesaikan persoalan limit.
• Pada ilmu biologi, konsep ini digunakan untuk menentukan laju pertumbuhan dari suatu organisme.
• Dalam ilmu fisika, ia digunakan untuk mengukur kepadatan pesawat.
• Di ilmu kimia, ia digunakan untuk mencari laju pemisahan larutan.
• Sedangkan dalam ilmu ekonomi, ia digunakan untuk menghitung keuntungan margin.

Itulah penjelasan singkat mengenai pengertian, rumus, serta contoh dari turunan fungsi aljabar, juga penerapannya dalam bidang ilmu lainnya. Materi ini diharapkan dapat membantu teman-teman untuk memahami lebih lanjut mengenai materi ini. Semoga bermanfaat.